Nueva familia iterativa de sexto orden para la
resolución de ecuaciones no lineales
Sixth new family method for solving nonlinear equations
William Alexander Ávila Aguilar
Universidad Técnica de Machala, Machala, Ecuador
Máster Universitario en Ingeniería Matemática y Computación, Universidad
Internacional de La Rioja, Escuela Superior de Ingeniería y Tecnología, España,
Madrid, España
wavila@utmachala.edu.ec
https://orcid.org/0000-0001-7577-3196
Marcos Chacón Castro
Grupo de Investigación GIECI, Fundación Universitaria Internacional de la Rioja,
Bogotá, Colombia
Máster Universitario en Ingeniería Matemática y Computación, Universidad
Internacional de La Rioja, Escuela Superior de Ingeniería y Tecnología, España,
Madrid, España
marcos.chacon@unir.net
https://orcid.org/0000-0001-7986-6322
Freddy Geovanny Saldivia Monserrate
Universidad de Guayaquil, Guayaquil, Ecuador
Máster Universitario en Ingeniería Matemática y Computación, Universidad
Internacional de La Rioja, Escuela Superior de Ingeniería y Tecnología, España,
Madrid, España
freddysaldiviam26@gmail.com
https://orcid.org/0009-0008-7476-996X
Recibido: 24/11/2025 - Aceptado: 06/01/2026 - Publicado: 22/01/2026
Autor de correspondencia: wavila@utmachala.edu.ec
Como citar: Ávila Aguilar, W. A. ., Chacón Castro, M. ., & Saldivia Monserrate, F. G. .
(2026). Nueva familia iterativa de sexto orden para la resolución de ecuaciones no lineales.
DISCE. Revista Científica Educativa Y Social, 3(1), 62-90.
https://doi.org/10.69821/DISCE.v3i1.69
Esta obra está bajo una licencia internacional Creative Commons Atribución 4.0.
Artículo de investigación
63
RESUMEN
Introducción. En este manuscrito, se introduce una familia iterativa multipaso
diseñada para resolver ecuaciones no lineales.
Materiales y métodos. Se investigó profundamente el análisis de convergencia de
esta nueva familia iterativa una vez definido el método multipunto y se demostró
que su orden de convergencia fue 6 con su orden de convergencia computacional
aproximado (ACOC) de 5.98 en la mayoría de las pruebas experimentales.
Resultados y discusión. Esta familia es derivada del esquema de Newton pero
incluye una función ‘’congelada’’ o peso para añadir un tercer paso en donde se
usó inicialmente como primer paso el método iterativo de segundo orden de Newton
para disminuir el número de evaluaciones funcionales.
Conclusiones. Finalmente se realizó con un conjunto de ecuaciones no lineales de
investigaciones recientes pruebas numéricas donde se evaluó la eficacia de esta
nueva familia verificando la cantidad de iteraciones para encontrar la solución
aproximada de la ecuación no lineal en comparación con otros métodos ya
propuestos de orden 6 obteniendo un costo computacional menor lo que permite a
este esquema iterativo ser eficiente y novedoso.
Palabras clave: Ecuaciones no lineales, análisis de convergencia, método óptimo,
recurso computacional.
ABSTRACT
Introduction. In this manuscript, we introduce a new multi-step iterative family
designed to solve non linear equations.
Materials and Methods. Furthermore, we highly investigate the analysis of
convergence from this new iterative family once the multi-step method was defined.
We demonstrated that its order of convergence was 6 and its approximated
computational order of convergence was 5.98 in majority of numerical experiments.
Results and Discussion. This family is derived from Newtons scheme, but it
includes a ‘’fronzen’’ or weight function to add up a third step. Initially, we used as
first iterative method the second order Newtons method with the aim to reduce the
number of functional evaluations.
Conclusions. Finally, we chose a set of nonlinear equations from recent
investigations with the aim to evaluate its efficacy from the new iterative family
verifying the amount of iterations to find the approximate solution of the nonlinear
equation in comparison to other already proposed sixth order methods achieving a
lower computational cost which allow to be an efficient and novel iterative scheme.
Keywords: Nonlinear equations, convergence analysis, optimal method,
computational resource.
64
INTRODUCCIÓN
La búsqueda de construir esquemas iterativos que permitan
determinar soluciones de ecuaciones no lineales comprende un reto
formidable en los dominios del análisis numérico y varias ciencias aplicadas.
El significado de lograr un método que mejor se aproxime a la solución de
un problema no lineal ha sido el fruto de numerosos trabajos de
investigación que hasta la actualidad siguen vigentes y con el desarrollo de
la tecnología se vuelve un desafío más competitivo. Por ello, el planteamiento
de nuevos enfoques hacia esquemas iterativos para encontrar las raíces o
soluciones de ecuaciones no lineales se rigen de forma general por la
siguiente ecuación:
en donde y es una regla de correspondencia o
función no lineal.
Este planteamiento para encontrar las raíces o soluciones de
problemas no lineales se aplica en distintas áreas de las ingenierías y
matemáticas aplicadas, por ejemplo, en el área de mecánica de sólidos
(Caporale et al., 2025) investigaron sobre procedimientos iterativos para
analizar la elasticidad de nano platos por medio de formulaciones integro
diferenciales bajo condiciones de frontera, logrando un método iterativo
efectivo encontrando la solución estándar de problemas elásticos locales;
métodos de transferencia de calor representan un papel importante en el
análisis numérico para encontrar las soluciones de sus ecuaciones
asociadas a fenómenos de turbulencia en el que por medio de un esquema
iterativo llamado Método Característico (MOC) para Precursores de
Neutrones Atrasados (DNPs) se utilizó para resolver una ecuación de
balance precursora con difusión turbulenta en combustibles líquidos
nucleares (Caprais & Bergeron, 2025b).
En el campo de la óptica, los modelos matemáticos que se pueden
representar por ecuaciones no lineales resultan altamente complejos que
necesitan ser linealizados por otros esquemas para aproximar
numéricamente sus soluciones (Kozitskiy et al., 2022). Por otra parte, las
ecuaciones no lineales que suelen necesitar otras representaciones
matemáticas se conectan con matrices, por ende, los análisis vectoriales en
los métodos numéricos requieren indagar formalmente su convergencia a la
solución del sistema; (Pokusiński & Kamiński, 2023) desarrollaron un
65
algoritmo para determinar características de probabilidad básicas en
variables aleatorias truncadas Gaussianas usando un método iterativo de
perturbación estocástico generalizado de alto orden. Los modelos de Poisson
son usados en las ciencias físicas abstractas para representar cargas
eléctricas comprometiendo su naturaleza a funciones en derivadas parciales
y para resolver o aproximar sus soluciones se utilizan métodos numéricos
para integrales como Runge – Kutta, uno de los más famosos en
estimaciones de integrales definidas; (Mohanty & Niranjan, 2024) tabularon
resultados correspondientes a una familia compacta de orden seis en
precisión para ecuaciones de Poisson de la forma las cuales son muy
requeridas en ingeniería y física.
En aplicaciones de sistemas dinámicos, particularmente en
propagación de ondas, (Li & Guo, 2020) investigaron la solución numérica
de los dominios sin restricción de las ecuaciones no lineales de Schrodinger
desarrollando condiciones de frontera artificiales para utilizar
eficientemente diferencias finitas probando rigurosamente la estabilidad del
problema. Las ecuaciones de Burger se utilizan en fluidos No Newtonianos
derivando sistemas dinámicos y para aproximar sus soluciones (Rawani et
al., 2023) propusieron una técnica computacional por medio de derivadas
espaciales aplicando ondas por goteo de Haar, una técnica que aproxima
términos integrales por productos trapezoidales; ecuaciones integrales de
dos dimensiones muy utilizadas en mecánica de sólidos, electroestática y
transferencia de calor debido a su alta complejidad de cálculo, necesitan
distintos esquemas de aproximación a sus soluciones pero con fórmulas de
las cuadraturas de Gauss – Legendre se pueden determinar (Alipour &
Mirzaee, 2020).
En general, el estudio de fenómenos físicos trata sobre ecuaciones
diferenciales parciales no lineales (Ali et al., 2023) en el que la materia de
encontrar sus soluciones es tan importante, extensa y ampliamente
estudiada por distintos campos de aplicación, comparando un sin número
de esquemas iterativos para alcanzar el número requerido de iteraciones que
converjan al criterio del método (Solaiman et al., 2021). Por ejemplo, en la
actualidad, la física cuántica, uno de los temas más intrigantes sobre la vida
necesita enormemente del análisis numérico debido a la gran cantidad de
expresiones no lineales con principios de incertidumbre que representan
sus teorías sobre todo en la de la relatividad (Alipour & Mirzaee, 2020).
66
Los problemas que involucran ecuaciones no lineales son
considerados por muchos investigadores como oportunidades para intentar
mejor la aproximación a su solución, es por ello, que la cantidad de tiempo
necesario para acercarse a su raíz es indispensable, y sus iteraciones son el
tema de investigación de algunos esquemas específicos. Mientras menos
iteraciones necesite un ejemplo de alta no linealidad, mejor es considerado
el método iterativo; la convergencia hacia una solución del método es
demostrada por medio de teoremas asociados a la diferenciabilidad de las
funciones en cuestión, pero el parámetro que mejor describe esta
característica del procedimiento es el ACOC (Aproximated Computational
Order of Convergence), el cual es obtenido por pruebas experimentales en
cada situación asociada a la no linealidad.
Muchos investigadores se han dedicado a analizar tanto de forma
teórica como computacional el orden de convergencia de un proceso
iterativo, (Zhanlav & Otgondorj, 2021) propusieron una nueva familia
iterativa de métodos como el famoso de Jarrat el cual tiene un orden de
convergencia cinco y seis acorde a su estructura con la que evidenciaron en
casos especiales su aplicabilidad teniendo en cuenta que al ser una ‘’familia’’
iterativa expresan el esquema en función de un solo parámetro generalizado;
(Caprais & Bergeron, 2025a) desarrollaron una nueva familia de dos
parámetros libres de cuarto orden para aproximar ecuaciones altamente no
lineales analizando su rendimiento en la convergencia en el sentido la
conjetura de Kung – Traub concluyendo que la familia propuesta fue óptima.
La no linealidad en modelos matemáticos vinculados a un fenómeno físico
conlleva a expresarlos en la mayoría de los casos en funciones polinómicas,
pero encontrar sus soluciones analíticas se vuelve un problema demasiado
complejo de tal manera que técnicas numéricas son buscadas para
aproximar sus raíces (Nirmala & Kumbinarasaiah, 2024).
Las ecuaciones no lineales se pueden expresar en función de una
única variable, a diferencia cuando son más de una incógnita se vuelven
sistemas de ecuaciones y de igual manera los métodos numéricos puede
aplicarse a una extensión de sistemas; (Erfanifar et al., 2020) desarrollaron
un novedoso método iterativo de punto fijo para resolver matrices no lineales
en la que su análisis de convergencia y existencia de solución fue derivado,
(Ibrahim & Kumam, 2021) propusieron un método modificado para resolver
sistemas de ecuaciones no lineales utilizando derivadas libres. En la
mayoría de los casos, los planteamientos no lineales se investigan sobre
67
vecindades o intervalos debido a que las aproximaciones a la solución de la
ecuación puedan tener resultados beneficiosos, por consiguiente, trazar la
aproximación gráfica de la ecuación no lineal permite tener de cierta manera
una idea más clara sobre su raíz o cero de la función.
En este trabajo se propuso una familia iterativa de tres pasos
utilizando un parámetro libre, se analizó su convergencia y se desarrollaron
pruebas numéricas; la estructura de esta investigación se elaboró de la
siguiente manera: introducción, metodología, por último, conclusiones.
MATERIALES Y MÉTODOS
La investigación de esquemas iterativos en el análisis numérico
radica en mejorar la rapidez de convergencia de las soluciones del problema
no lineal, evaluar la eficacia computacional del método y su tiempo de
ejecución para que la propuesta planteada tenga relevancia en campos de
aplicación antes mencionados; las condiciones que permiten establecer al
proceso como ideal se definen por teoremas generales analizando su
comportamiento en la diferenciabilidad de funciones.
El esquema iterativo propuesto en este trabajo tuvo como primer
paso o iteración al método de Newton, el segundo paso fue seleccionado de
una investigación realizada por (Thangkhenpau et al., 2024) cuyo esquema
iterativo se desarrolló para sistemas de ecuaciones no lineales y expresado
para ecuaciones de la siguiente manera.
RESULTADOS Y DISCUSIONES
El esquema iterativo presentado por la ecuación contiene dos
pasos, uno definido por y ; se añadió un tercer paso para proponer un
nuevo esquema iterativo:
68
en donde son parámetros libres que definen al proceso
iterativo como una familia.
Definición 1. Sea una función de variable real.
Entonces con que está en puede representarse por medio de una
serie de potencias de la forma:
Definición 2. Se llama a como conjunto de convergencia para
aquellos valores de que están en tal que la serie es igual a un valor
que está en el rango de .
Definición 3. Se denominan raíces de a todos los valores que
están en su conjunto de convergencia de tal forma que .
Teorema 1. Sea una función cuya – ésima derivada
para cada en un intervalo que contiene a . Entonces para cada en ,
donde el residuo o error está dado por la fórmula
y es algún punto entre y .
Demostración. Se puede escoger cualquier valor aleatorio para
demostrar que la función de su error está representada como . Sea
una función de variable real que puede expresarse como:
69
Considerando que un punto y sean constantes cualquieras y
definiendo una nueva función sobre como:
Reemplazando para en se tiene que y
reemplazando para :
Debido a que y son puntos en el intervalo con la propiedad de
que , se puede aplicar el teorema del valor medio para
derivadas. Por tanto, existe un número real entre y tal que .
En consecuencia,
Se concluye que,
70
Teorema 2. Suponga la función es suficientemente
diferenciable en la cual contiene una raíz de , . Asumiendo
que , entonces la familia iterativa converge a con un orden
correspondiente de si
y su
ecuación del error está dada por
donde
Demostración. Al realizar una expansión de Taylor para y
en torno a se obtiene:
Dejando como
se puede expresar como
Al derivar la expresión con respecto a :
71
Se puede expresar para
como
Al dividir las expresiones y se consigue la representación:
Al sustituir en el primer paso de la familia se obtiene
72
Si se utiliza la expresión para se obtiene
Al dividir las expresiones y se consigue
Se define el tercer paso para como
73
Al analizar los términos para relacionar con el tercer paso de la
familia se obtiene la expresión
De la misma manera al dividir las expresiones y se define
74
La función en el punto por su desarrollo en series de Taylor
se puede representar como
Al dividir las expresiones y
Finalmente se pueden utilizar las expresiones y
para reemplazar en el tercer y último paso con
para determinar la ecuación del error por
Esta demostración prueba que la familia iterativa definida por
tiene un orden de convergencia seis en el conjunto de los números reales.
Validación del método
La demostración del método en su orden se convergencia permitió
que la familia iterativa pueda realizar aproximaciones numéricas a ejemplos
prácticos de ecuaciones no lineales para encontrar su ACOC; cada
75
aproximación a la solución del problema no lineal tuvo su cantidad de
iteraciones correspondientes, así, mientras menor sea el número de intentos
hacia la solución, mejor es el método iterativo, y para ello, se seleccionó
otros dos métodos iterativos de orden de convergencia seis para realizar una
comparativa, analizar la efectividad del método y su optimización de
recursos computacionales.
Los métodos iterativos se consideran óptimos por el número de
evaluaciones funcionales, en este caso, el método propuesto en este trabajo
contiene cuatro evaluaciones funciones; la expresión matemática que
permite establecer como método óptimo es la cota donde es el número
de evaluaciones funcionales. Las comparativas que se pueden realizar entre
los métodos permiten verificar el rendimiento de una nueva propuesta, por
ejemplo, (Usman et al., 2025) propuso un novedoso esquema iterativo
multipaso realizando comparaciones con otros cuatro métodos, uno de ellos
fue desarrollado en el año 2012.
El método propuesto por Sharma – Sharma – Karla encontrado en la
investigación de (Thangkhenpau et al., 2024) que en este trabajo se lo
abrevió como SSKM6 tiene un orden de convergencia seis y está dado por el
esquema:
El método propuesto por (Cordero et al., 2010) responde a un orden
de convergencia seis, se lo abrevió como MK6 y tiene la siguiente
representación:
76
Para la validación del método se escogió una muestra de cinco
funciones de variable real de trabajos de investigación asociados a
ecuaciones no lineales, tres funciones no lineales de (Özban & Kaya, 2022)
con sus raíces aproximadas, una función de (Sharma & Panday, 2022), y
una última de (Kodnyanko, 2021); se muestra a continuación el conjunto de
prueba seleccionado:
Tabla 1. Muestra de problemas no lineales para validación de método.
Ecuación no lineal
Raíces
Nota: Creación propia
Los problemas seleccionados de la tabla 1 muestran sus raíces
aproximadas, es decir, al evaluar el valor en cada función se aproxima a
la igualdad, aunque para proporcionar una mejor visualización de sus
soluciones se graficó cada una de las representaciones no lineales que
proporcionó un camino más factible desde el punto de vista geométrico para
la comparativa con los otros dos métodos iterativos; las gráficas de las
funciones no lineales se ilustran a continuación:
77
Grafica 1. Regla de correspondencia para
Gráfica 2. Regla de correspondencia para
78
Gráfica 3. Regla de correspondencia para .
Gráfica 4. Regla de correspondencia para .
79
Gráfica 5. Regla de correspondencia para
Pruebas experimentales
Para la verificación del desarrollo computacional del método se
utilizó como herramienta el programa Matlab R2024a con una precisión
significativa en cada iteración de 500 dígitos, con una tolerancia de y
un máximo de veinte iteraciones; los métodos que se realizó la comparativa
en su eficacia contienen derivadas de orden 1, por tanto, la programación
incluye nuevas funciones que deben añadirse a cada esquema lo que
representa un costo computacional mayor en donde el tiempo de ejecución
también se estimó. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos para
cada función:
Tabla 1. Prueba numérica para .
V
alor
inicial de
prueba
Mé
todo
Itera
ciones
A
COC
Tie
mpo de
ejecución
FA
3PAS
80
MK
6
SS
KM6
Tabla 2. Prueba numérica para .
V
alor
inicial de
prueba
Mé
todo
Itera
ciones
A
COC
Tie
mpo de
ejecución
FA
3PAS
MK
6
SS
KM6
Tabla 3. Prueba numérica para .
V
alor
inicial de
prueba
Mé
todo
Itera
ciones
A
COC
Tie
mpo de
ejecución
FA
3PAS
MK
6
SS
KM6
Tabla 4. Prueba numérica para .
V
alor
inicial de
prueba
Mé
todo
Itera
ciones
A
COC
Tie
mpo de
ejecución
81
FA
3PAS
MK
6
SS
KM6
Tabla 5. Prueba numérica para .
V
alor
inicial de
prueba
Mé
todo
Itera
ciones
A
COC
Tie
mpo de
ejecución
FA
3PAS
MK
6
SS
KM6
Las tablas comparan el método propuesto con otros ya existentes
para resolver ecuaciones no lineales con rasgos hallados bastante
importantes, por ejemplo, en la tabla 1 el método propuesto converge a seis
unidades lo cual en la demostración teórica se verificó, pero el número de
iteraciones es mayor, por ende el tiempo de ejecución se incrementó, a
diferencia del método MK6 con un tiempo de ejecución reducido casi a su
mitad; en la tabla 2 el método propuesto aproxima la raíz del problema no
lineal sin embargo su tiempo de ejecución es mayor en comparación con
MK6 y SSKM6. El método propuesto entregó eficiencia en la evaluación para
la función en comparación con MK6 debido al valor cero entregado en
los puntos próximo a la solución aproximada del ejemplo con un valor ACOC
de .
Taller práctico
El método propuesto en este trabajo de investigación se lo
implementará en una práctica con un grupo de estudiantes de la
Universidad Técnica de Machala, los cuales cursarán la materia de Análisis
Numérico pertenecientes a la carrera de Ingeniería Química en el periodo
82
2026 – 1; el método iterativo de segundo orden de Newton es uno de los
primeros pasos que un estudiante de pregrado tiene que estudiar para que
sus conocimientos en el campo de la no linealidad puedan ir respondiendo
a problemas de la vida real. En la figura adjunta se ilustra el contenido de
estudio tienen que cursar para la materia:
Gráfica 6. Contenido de estudio para la materia de Análisis
Numérico.
Actividad 1
Grafique las siguientes ecuaciones no lineales y establezca un
intervalo solución:
Actividad 2
Aproxime la solución es las ecuaciones no lineales de la actividad 1
con una tolerancia de y con un máximo de veinte iteraciones
utilizando el software Matlab 2024a.
83
Muestra de algunas actividades desarrolladas por los estudiantes
Los estudiantes realizaron el taller de forma grupal con una
estructura de programa computacional ya brindada por el docente para que
el desarrollo del problema tenga un fin común, aproximar la solución de
ecuaciones no lineales. Los cálculos que deben tener en consideración
primordialmente los alumnos son las funciones tanto de primeras como
segundas derivadas y dichas funciones son determinadas en papel ya que
son conocimientos que los estudiantes deben tener previamente conocidos.
En la gráfica 7 se puede observar la regla de correspondencia para
en el intervalo de y su solución aproximada se encuentra en la
vecindad del intervalo ; esta aproximación permite tener una
referencia y clara evidencia de que el programa pueda ejecutarse
correctamente. El problema radica en la estructura de la familia iterativa ya
que, en algunos casos, internamente el programa puede realizar iteraciones
que no converjan a la solución, por ende, se debe modificar la tolerancia del
método; con un total de veinte iteraciones se puede tener una estimación
bastante aceptable hacia la aproximación de la raíz de la ecuación no lineal.
Gráfica 7. Regla de correspondencia para .
84
Gráfica 8. Regla de correspondencia para
En la gráfica 8 se puede observar un comportamiento diferente
respecto a la solución aproximada de la ecuación no lineal para , su raíz
se encuentra en un intervalo de valores positivos en donde los métodos
iterativos en este trabajo de investigación utilizaron una estimación inicial
de para esta función y su programa numérico, de acuerdo con el
número de iteraciones definido logre converger al cero de la función no
lineal. A diferencia de la función , los valores que se encuentran en el
eje vertical son de órdenes pequeños, pero no significa que la norma de la
función no lineal en la última iteración este alejada del valor numérico cero.
En la actividad 2, se realizó la ejecución del programa de Matlab con
una estructura fija en donde el único cambio corresponde a la función de
entrada para encontrar su raíz aproximada, por ejemplo, para la función
, su dato adicional conlleva a encontrar la función debido a que los
esquemas iterativos requieren ese dato, pero con los conocimientos
adquiridos de los estudiantes en cursos previos de cálculo, esto no es un
impedimento, por ello,
. Las funciones de las
derivadas permiten que el programa numérico pueda correr sin ningún
problema o requerimiento de información adicional. En la tabla 6 y 7 se
85
obtuvieron las raíces aproximadas de las funciones y ,
respectivamente.
Tabla 6. Solución aproximada .
FA3PAS para
Solución
aprox.
ACOC
MK6 para
Solución
aprox.
ACOC
SSKM6 para
Solución
aprox.
ACOC
Tabla 7. Solución aproximada .
FA3PAS para
Solución
aprox.
ACOC
MK6 para
Solución
aprox.
ACOC
SSKM6 para
Solución
aprox.
ACOC
86
CONCLUSIONES
Un método iterativo multipaso para la solución numérica de
ecuaciones no lineales fue descrito y utilizado para aproximar sus
soluciones con problemas altamente no lineales evidenciando un esquema
con alta rapidez de cálculo, no inferior y actualizado en el sentido de su
desarrollo computacional. Los métodos seleccionados para su comparación
fueron de igual manera eficientes en el tiempo de ejecución del programa y
el propuesto consiguió excelentes resultados para su tiempo de
implementación. Por ende, para un parámetro libre, el método propuesto en
este trabajo permite tener consideraciones a trabajos futuros como análisis
de la estabilidad del procedimiento iterativo y ejecución del método para
sistemas de ecuaciones no lineales.
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90
Conflicto de intereses
El autor (o los autores) declara(n) que esta investigación no tiene conflicto de
intereses y, por tanto, acepta(n) las normativas de publicación de esta revista.
Financiación
El autor (o los autores) declara(n) que esta investigación no fue financiada por
alguna institución.
Declaración de contribución de los autores/as
William Alexander Ávila Aguilar: Conceptualización, Metodología, Software,
Visualización, Análisis formal, Validación.
Marcos Chacón – Castro: Investigación, Redacción - borrador original, Curación
de datos.
Freddy Geovanny Saldivia Monserrate: Investigación, Recursos, Redacción -
revisión y edición, Supervisión, Administración del proyecto.
Sobre los autores
William Alexander Ávila Aguilar, Magíster en Ciencias de la Ingeniería Mecánica,
Escuela Superior Politécnica del Litoral, Guayaquil, Ecuador.
Marcos Chacón – Castro, Doctorado en Educación, Universidad Pedagógica
Experimental Libertador Instituto Pedagógico Rural “Gervasio Rubio”, Venezuela,
Magíster en Educación, Universidad Autónoma de Bucaramanga, Santander,
Colombia, Licenciatura en Matemáticas, Universidad Industrial de Santander,
Bucaramanga, Santander, Colombia.
Freddy Geovanny Saldivia Monserrate, Ingeniero Civil, Universidad de
Guayaquil, Guayaquil, Ecuador.
